Phân tích tiệm cận (Asymptotic Analysis) là một phương pháp trong khoa học máy tính để đánh giá độ phức tạp của một thuật toán khi kích thước đầu vào (input size) tăng lên vô hạn. Mục đích của phân tích tiệm cận là xác định tốc độ tăng trưởng của thời gian chạy (hoặc không gian bộ nhớ) của một thuật toán, tức là cách mà chi phí của thuật toán thay đổi khi kích thước đầu vào trở nên rất lớn.

Các khái niệm cơ bản trong phân tích tiệm cận:

1. Độ phức tạp thời gian (Time Complexity):

• Đây là số lượng bước thực thi mà một thuật toán cần để hoàn thành, tính theo kích thước của đầu vào.
• Ví dụ: Nếu một thuật toán thực hiện một vòng lặp qua toàn bộ phần tử trong mảng có kích thước n, thì độ phức tạp thời gian của thuật toán là O(n).

1. Độ phức tạp không gian (Space Complexity):

• Đây là lượng bộ nhớ mà thuật toán yêu cầu, tính theo kích thước đầu vào.

Tại sao phân tích tiệm cận quan trọng?

Khi làm việc với các thuật toán, đặc biệt là các thuật toán làm việc trên các tập dữ liệu lớn, việc dự đoán tốc độ và hiệu quả của thuật toán là rất quan trọng. Phân tích tiệm cận cung cấp một cách để ước lượng và so sánh các thuật toán mà không cần phải chạy chúng trong mọi trường hợp cụ thể.

Các ký hiệu tiệm cận phổ biến:

1. O lớn (Big O Notation):

• Big O biểu diễn giới hạn trên (upper bound) của độ phức tạp thời gian của thuật toán, nghĩa là nó cho biết thời gian chạy dài nhất mà thuật toán có thể cần khi kích thước đầu vào trở nên rất lớn.
• Big O biểu diễn sự tồi tệ nhất (worst-case) của thuật toán. Ví dụ:
• O(1): Thời gian thực hiện không phụ thuộc vào kích thước đầu vào (hằng số).
• O(n): Thời gian thực hiện tỷ lệ thuận với kích thước đầu vào.
• O(n²): Thời gian thực hiện tỷ lệ với bình phương kích thước đầu vào (thường gặp trong các thuật toán với hai vòng lặp lồng nhau).

1. Ω lớn (Omega Notation):

• Ω biểu diễn giới hạn dưới (lower bound) của độ phức tạp thời gian của thuật toán, tức là thời gian chạy nhanh nhất mà thuật toán có thể cần khi kích thước đầu vào lớn.
• Biểu diễn best-case (trường hợp tốt nhất) của thuật toán. Ví dụ:
• Ω(1): Trong trường hợp tốt nhất, thời gian chạy không phụ thuộc vào kích thước đầu vào.
• Ω(n): Trong trường hợp tốt nhất, thời gian chạy tỷ lệ thuận với kích thước đầu vào.

1. Θ lớn (Theta Notation):

• Θ biểu diễn giới hạn chính xác của độ phức tạp thời gian, nghĩa là thời gian chạy của thuật toán cả trong trường hợp tốt nhất và tồi tệ nhất đều bị chặn trên và chặn dưới bởi cùng một hàm.
• Biểu diễn độ phức tạp thời gian khi cả upper bound và lower bound giống nhau. Ví dụ:
• Θ(n): Thời gian chạy luôn tỷ lệ thuận với kích thước đầu vào trong mọi trường hợp.

Ví dụ về phân tích tiệm cận:

1. Tìm phần tử lớn nhất trong mảng (O(n)):

public int findMax(int[] arr) {
    int max = arr[0];
    for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
        if (arr[i] > max) {
            max = arr[i];
        }
    }
    return max;
}

• Ở đây, độ phức tạp thời gian là O(n) vì thuật toán cần duyệt qua toàn bộ n phần tử trong mảng một lần để tìm phần tử lớn nhất.
• Độ phức tạp không gian là O(1) vì không yêu cầu thêm bộ nhớ ngoài trừ các biến max và i.

2. Sắp xếp chèn (Insertion Sort) – O(n²):

public void insertionSort(int[] arr) {
    for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
        int key = arr[i];
        int j = i - 1;
        while (j >= 0 && arr[j] > key) {
            arr[j + 1] = arr[j];
            j--;
        }
        arr[j + 1] = key;
    }
}

• Độ phức tạp thời gian là O(n²) vì thuật toán có hai vòng lặp lồng nhau, vòng lặp bên ngoài chạy n lần và vòng lặp bên trong có thể chạy n lần trong trường hợp tệ nhất.
• Độ phức tạp không gian là O(1) vì thuật toán không yêu cầu thêm bộ nhớ ngoài trừ các biến dùng trong quá trình sắp xếp.

Các loại độ phức tạp thời gian phổ biến:

• O(1): Hằng số – rất nhanh, không phụ thuộc vào kích thước đầu vào.
• O(log n): Logarit – thường thấy trong các thuật toán chia đôi như tìm kiếm nhị phân.
• O(n): Tuyến tính – thời gian chạy tỷ lệ thuận với kích thước đầu vào.
• O(n log n): Tối ưu hơn O(n²), thường gặp trong các thuật toán sắp xếp nhanh như merge sort, quicksort.
• O(n²): Bình phương – thường gặp trong các thuật toán đơn giản với hai vòng lặp lồng nhau.
• O(2^n): Hàm mũ – rất chậm, thường gặp trong các bài toán đệ quy như bài toán tháp Hà Nội.
• O(n!): Giai thừa – thường xuất hiện trong các bài toán liên quan đến hoán vị và tổ hợp.

Phân tích tiệm cận giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hiệu suất của các thuật toán trong trường hợp kích thước đầu vào lớn. Điều này rất quan trọng khi thiết kế và lựa chọn thuật toán, đặc biệt trong các bài toán có đầu vào lớn cần tính toán nhanh và hiệu quả.